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高一上数学(必修一)知识点总结

发布时间:2019-10-21

  高一上数学(必修一)知识点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.集合 2. 函数 一、知识结构 列举法 描述法 图示法 子集 真子集 交集 并集 补集 集合含义与表示 集合间关系 集合基本运算 集合 一、集合有关概念 a.集合的含义 b.集合

  1.集合 2. 函数 一、知识结构 列举法 描述法 图示法 子集 真子集 交集 并集 补集 集合含义与表示 集合间关系 集合基本运算 集合 一、集合有关概念 a.集合的含义 b.集合的中元素的三个特性: 元素的确定性 元素的互异性 元素的无序性 c.集合的表示: { … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R A.列举法:{a,b,c……} B.描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括 号内表示集合的方法。{x?R x-32} ,{x x-32} C.语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} D.Venn图: d.集合的分类: (1)有限集 (2)无限集 (3)空集 含有有限个元素的集合 含有无限个元素的集合 不含任何元素的集合 例:{xx2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: 有两种可能(1)A是B的一部分; (2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合 A,记作A B或B A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={xx2-1=0} B={-1,1} “元素相 同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A 是集合B的真子集,记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何 非空集合的真子集。 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个 真子集 三、集合的运算 ? ? ? ? ? 例题: 1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a,b,c }的线.若集合M={yy=x2-2x+1,x R},N={xx≥0}, 则M与N的关系是 . 4.设集合A= ,B= ,若A B,则 的取值范围 是______________ 5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知 物理实验做得正确得有40人,化学实验做得 正确得有31人,两实验都做错得有4人,则 这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界 上的点)组成的集合M= . 7.已知集合A={x x2+2x-8=0}, B={x x25x+6=0}, C={x x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ ,A∩C=Φ,求m的值________ 知识 结构 概念 三要素 函 数 大小比较 图象 性质 指数函数 对数函数 方程解的个数 应用 不等式的解 实际应用 一、函数的有关概念 1.函数的概念: 设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集 合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范 围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫 做函数值,函数值的集合{f(x) x∈A }叫做函数的 值域. 函数的概念 A x1 x2 x3 x4 B C x5 A.B是两个非空的集合,如果 按照某种对应法则f,对于 集合A中的每一个元素x,在 集合B中都有唯一的元素y和 它对应,这样的对应叫做从 A到B的一个函数。 函数的三要素:定义域,值域,对应法则 y1 y2 y3 y4 y5 y6 A.定义域 定义:使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的线)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5) 指数为零底不可以等于零, (6) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法: ①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关); ②定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本21页相关例2) B.值域 值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 C.函数图象 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点 P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图 象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实 数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法 a.描点法: b.图象变换法 (3)常用变换方法有三种 平移变换 伸缩变换 对称变换 D.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭 区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. E.映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某 一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一 个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之 对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B 的一个映射。记作f:A→B F.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函 数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是 各段值域的并集. 补充:复合函数 如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。 二.函数的性质 函数的单调性 函数的奇偶性 1.函数的单调性(局部性质) (1)定义 a.设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的 某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时, 都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区 间D称为y=f(x)的单调增区间. b.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区 间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函 数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严 格的)单调性,在单调区间上增函数的图象 从左到右是上升的,减函数的图象从左到 右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取x1,x2∈D,且x1x2; 2 作差f(x1)-f(x2); 3 变形(通常是因式分解和配方); 4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性) (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u) 的单调性密切相关,其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不 能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、函数的奇偶性(整体性质) 定义: (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有 f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2)奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有 f(-x)=—f(x),如果脑垂体受压迫,白小相玄机图那么f(x)就叫做奇函数. 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称 函数奇偶性的判断方法 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1.首先确定函数的定义域,并判断其是否关于 原点对称; 2.确定f(-x)与f(x)的关系; 3.作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+ f(x) = 0,则f(x)是奇函数. (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 三、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要 求两个变量之间的函数关系时,一是要求出 它们之间的对应法则,二是要求出函数的定 义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: a.凑配法 b.待定系数法 c.换元法 d.消参法 四、函数最大(小)值 定义:(见课本p36页) 常见求法; 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最 大(小)值 2 利用图象求函数的最大(小)值 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上 单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上 单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); ? 第一章完 反比例函数 k0 1、定义域 . 2、值域 k0 R 3、图象 二次函数 a0 1、定义域 . 2、值域 a0 3、图象 指数函数 a1 1、定义域 . 2、值域 3、图象 0a1 R+ y y 1 o x 1 o x 对数函数 a1 1、定义域 . 2、值域 3、图象 R+ 0a1 y y o 1 x o 1 x 幂函数的性质 函数 性质 y=x R R 奇 增 y=x2 R [0,+∞) 偶 y=x3 R R 奇 增 (1,1) y=x 1 2 y=x-1 {xx≠0} {yy≠0} 奇 定义域 值域 奇偶性 单调性 [0,+∞) [0,+∞) 非奇非 偶 增 (1,1) [0,+∞)增 (-∞,0]减 (1,1) (0,+∞)减 (-∞,0)减 (1,1) 公共点 (1,1) 五、函数的应用 函数的概念产生于生产实践中,反过来它也可用来 解决一些生产实践中的实际问题,我们主要解决函 数应用问题; 解函数应用题的方法和步骤: 1。审题: (1):设出未知 (2):找出量与量的关系 2。建摸:建立函数关系式 3。求解:用数学方法解出未知 4。回归实际:检验所求结果是否符合实际并作 答 知识小结 就是将数学 求解一个数学应用问题,我们每一个人都会有自己 结论转译成 可行的思路和方法,如下图所示介绍其中一种思路: 应以审题 (即明确题意)开始,通过分析和 采用数学方法, 实际问题的 抽象找出题设与结论的数学关系,建立合 解决数学模型所 就是对实际问题 结论。安徽一男子陷入网络刷单骗局 被骗5000余元, 理的数学模型。 表达的数学问题。 的结论作出回答 实际问题 答 实际问题的解 还原说明 抽象概括 数学模型 推 理 演 算 数学模型的解 例题 1.求下列函数的定义域: ⑴ ⑵ 2.设函数 的定义域为 的定义域为____ 3.若函数 的定义域为 义域为____ 4.函数 ,若 ,则函数 ,则函数 的定 ,则x = _______ 5.用长为 1 的铁丝弯成下部为 矩形,上部为半圆形的框架, 若矩形底边长为2x ,求此框 架的面积 y 与 x 的函数式, 并写出它的定义域。 6.已知函数 ,求函数 , 的解析式______ 7.已知函数 满足 ,则 = 。 8.设 是R上的奇函数,且当 时, ,则当 时 =_____ 在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间: ⑴ (2) 10.判断函数 的单调性并证明你的 结论. 11.设函数 判断它的奇偶性并且求 证: 作业: 将基本初等函数的图像,性质总结 要求:1、画出图形 2、列出所有性质

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